費瑪最後定理

詳細資訊

語言文字會消亡，而數學概念卻不會
證明是數學的核心
數學不僅是計算，更是一場場思考與邏輯的遊戲
破解費瑪提出的數學難題
經過三個世紀的挑戰，終於得到證明

　　《費馬最後定理》之所以經典，不在於它教會了你多少數學，而在於它讓你相信——數學是一場人類精神與想像力的史詩級探險。
　　故事開始於你我都熟知的一段數學術語──畢達哥拉斯定理：「在一個直角三角形中斜邊的平方等於另外兩邊的平方之和。」亦即，a2＋b2＝c2。十七世紀時，有「業餘數學家王子」之稱，以數學為業餘興趣的律師皮埃爾‧德‧費瑪（Pierre de Fermat）在研究《算數》（Arithmetica）這本書時，在書的空白處不經意地寫下「an＋bn＝cn，當n＞2 時無正整數解」，並且用拉丁文留下一句話「我有這個命題有絕妙的證明，但這裡空間太小我寫不下」。短短一條公式，加上這一句話，讓後世的數學家們花了足足三百年，想破腦袋，想要破解這個命題。這項迷人的任務，直到1995年才由安德魯‧懷爾斯（Andrew Wiles）完成證明。這項證明堪稱上個世紀最偉大的數學解謎任務。
　　自費瑪提出最後定理以來，三百年來，數學界宛如接力賽般推進證明的腳步，眾多天才前仆後繼，逐步逼近驗證定理的真相，最終在安德魯‧懷爾斯手上完成終點衝刺，奪得桂冠。
　　作者以科學記者的敏銳與文學家的筆法，將數學抽象語言轉化為生活與文化圖像，讓讀者即使毫無數學背景，也能隨之進入數論迷宮。
　　本書生動而完整地描繪了這段驚心動魄的歷史。這是一本不僅談論數學的歷史，而是天才、靈感以及冒險；它觸及的，是完美、輝煌與陶醉。

∮為何值得一讀∮
　　＊ 若你曾在學生時代畏懼數學，本書會顛覆你對數學的印象；
　　＊ 若你熱愛推理與知識冒險，它將帶你見證人類智慧對不可能任務的征服。

【本書特色】
　　● 問題導向敘事，從費瑪的註解出發，重構三百年的數學探索史，張力十足。
　　● 用通俗比喻講解模形式、數論等艱澀主題，非理工背景讀者也能輕鬆理解。
　　● 聚焦安德魯・懷爾斯的心理歷程與知識突破，結合推理與人物傳記的敘事風格。
　　● 呈現數學發展的集體面貌，強調知識共同體的傳承與創新。

【內容收錄】
　　＊ 十七世紀的數學怪傑費瑪死後，留下了一條再簡單不過的定理，也就是畢達哥拉斯定理的延伸：「xn＋yn＝zn，當n大於2時沒有整數解。」卻因為證明過程佚失，而成為數學史上最著名的謎團，世界最頂尖的數學家們不斷挑戰，卻人人無功而返。

　　＊ 1963年，有位十歲的男孩偶然與費瑪最後定理相遇，他下定決心，就算窮盡一生也要解開這道擊潰眾多聰明腦袋的謎題。30年後，他完成了這項不可能的任務，震驚全世界，他就是英國數學家──安德魯‧懷爾斯。

　　＊ 這是一段令人著迷的歷史、一趟高潮迭起的冒險旅程，最純粹的好奇心驅動著300年來狂熱的數學解謎，人們憑藉一股對知識的熱情，世代追尋究極的完美。原來，數學的理性如此浪漫；原來，數學是世上唯一不朽的真理。

【推薦對象】
　　● 對數學史、科學推理、邏輯思維有興趣的一般讀者
　　● 中學以上師生，或關注數理教育的教育工作者

OPEN精選｜經典重啟，閱讀再出發

▍書系簡介
【OPEN精選】是臺灣商務印書館於2025年推出的全新經典再造書系。本系列從過去廣受好評的【OPEN】叢書中，精挑細選出兼具思想深度與時代意義的代表作，重新編修出版。透過重新修潤譯文、調整開本、重編版面與設計封面，並邀請重量級學者或作家撰寫導讀，賦予經典全新的當代生命力，讓經典不再遙遠，而成為今日社會的思想對話者。

▍我們的期望
【OPEN精選】讓這些歷久彌新的經典，在2025年以全新姿態再次走入讀者心中，陪伴我們在不確定的世界中，思考人性、尋找價值、重新出發。

媒體推薦

導讀　費瑪最後定理證畢三十年後
賴俊儒（中央研究院數學所助研究員）

費瑪最後定理描述的是下面這個方程式的正整數解是否存在：
an+bn=cn
當n=2時，你我熟知的畢氏定理告訴我們，這個問題等價於是否能夠找到邊長都是正整數的直角三角形。因為 32+42=9+16=25=52，我們可以立刻看出一組解（3, 4, 5）。甚至，我們可以使用初等的手法構造無限多組畢氏三元數
a=m2-n2, b=2mn, c=m2+n2,
進而得到無限多組正整數解。

但是當n≥3時，這個方程的本質和n=2的情況有著巨大的區別，無論人們怎麼嘗試，連一組正整數解都找不到。費瑪在17世紀時猜測n≥3的情況下，此方程一定沒有正整數解。他宣稱他有一個巧妙的證明，只是因為書頁邊緣太小寫不下。在能找到的費瑪手稿中，他使用了數學歸納法證明了n=4的特殊情形。世人後來將這個命題稱為費瑪最後定理。

三十年前，筆者還是小學生的時候，就讀過商務印書館出版的《費瑪最後定理》了。三十年後，筆者已經成為了數學家，當年看不懂的天書現在已經能夠理解，並且可以講解、教人了。

這本書雖然是在講「費瑪最後定理」，但是卻不是在講費瑪最後「定理」。本書的首要目標不是在講解證明，而是在傳達重要的數學品味。以精妙幽玄的數學知識發展為經，以求道的數學家之人物圖像為緯。在淺談數百年來重要的數學發展的同時，巧妙地介紹了許多容易入門，又有品味的數學。筆者衷心希望，讀者在閱讀本書的時候能夠充滿興趣的跟隨數學推導，進而學習到數學素養的核心──面對未知時能夠直面問題的勇氣與行動力。

但也因為如此，本書到了將近一百頁以後才開始碰到證明的邊。讓我們暫時忽略一些技術上需要做的假設，在此來快速瀏覽證明的架構與風味。證明的精神是用「反證法」，我們想要從一個假設出發，透過兩種不同管道推導出相互矛盾的結論，便可以得知假設不成立。

第一步：
對於給定的數對（a, b），我們可以在xy平面上定義以下的橢圓曲線：
E: y2=x(x-an )(x+bn ).
假設（a, b, c）是一組正整數解，那麼這個三次曲線E的判別式（discriminant）可以套公式算出，必定是某個完全n次方數除以256。
第二步：
因為曲線E的判別式和為完全n次方數只差個256倍，可以使用里貝特（Ribet）在1986年的工作，推論出這個曲線E在n≥3的情況下「不能對應到模形式（modular form）」。
這裡模形式指的是一種特別好的複變函數𝑓:{z∈ |Im(z)>0}→ 。
第三步：
證明這個曲線E應該要能對應到模形式，與第二步產生矛盾，便證畢。

我們先後退一步，端詳一下上面的證明大綱。希望讀者能夠感受到費瑪最後問題的本質，已經不再是能靠初等手法搬運數字就能搞定的了。這個問題已經被轉化成橢圓曲線與模形式之間的奇妙對應——谷山－志村猜想，是一個任誰第一眼看到都難以相信的大膽預測。
簡單的說，你看著每一個橢圓曲線，你都可以依照某個規則寫下一串數字；同時對於每一個模形式，你也可以依照另一個規則寫下一串數字。谷山－志村猜想預測了每一個有理係數的橢圓曲線寫下的數列都會和某個模形式產生的數列一致。

本書中使用的比喻，是這兩種不同的數學結構都流有相同的數學DNA。筆者認為這樣的敘述還太過冷靜。谷山與志村觀察到的命題，對筆者來說的震驚程度應該可以比擬成——你去路上隨便找一隻貓驗尿，出來的成分會和這世界上某一隻狗流的汗一模一樣。

谷山－志村猜想等於是描述了一艘太空梭，連接了兩個乍看之下毫無關聯的數學宇宙。懷爾斯對於數學世界的貢獻，並不是他證明了費瑪最後定理，而是他奠基在前人的工作之上，完成了第一艘太空梭，證明了谷山－志村猜想的特例，作為第一個有用的模定理（modularity theorem），能拿來證明最有話題性、但是相當初等的數論問題、也就是費瑪最後定理。

在懷爾斯的證明驗證完之後，費瑪最後問題已死，但是模定理以及其推廣的研究仍然是數學界關心的重要問題之一。三十年來，頂尖的數學期刊上發表的文章幾乎都還是會看到各式各樣的「太空梭定理」。以數學的行話來說，這樣的研究屬於朗蘭茲綱領（Langlands program）的一部分。如果我們將數學命題中出現的係數從有理數改成其他數學上自然的推廣係數域，對應的數學宇宙實際上差之千里。這些研究方向分別被稱為幾何朗蘭茲（geometric Langlands）和局部朗蘭茲（local Langlands），……諸如此類。
2024年五月，德國馬克思普朗克研究所的蓋茲哥利（Gaitsgory）率領的九人團隊宣布了幾何朗蘭茲對應的證明。論文拆成五篇發表，篇幅超過了一千頁。這個工作的在數學社群的話題性與重要性不會遜色於懷爾斯的工作，只是因為缺少了像是費瑪最後定理這樣易懂的媒介，以致相關討論無法出圈。

最後，我們來做一個假設性的思想實驗。如果今天有人提出了一個完全初等的費瑪最後定理的證明，像是當初費瑪使用數學歸納法證明n=4的特例一樣，可以相信是當初費瑪想要寫卻寫不下的證明，會發生什麼事呢？

我想，這個人仍然還是會短暫走紅，在鎂光燈下收穫掌聲，但是這樣的證明對於數學的貢獻是微不足道的。因為an+bn=cn只是滄海一粟，只是方程式銀河中的一粒砂。這樣的靈機一動的初等證明，不足以讓數學家在求道的路上添加助益，不足以建造下一艘太空船連結光年之外的數學宇宙。

我們又回到了數學品味。在學習數學的過程中，重要的不是能夠背誦命題的真假，而是能在臨摹好品味的數學演繹的過程中培養數感。要先見過好的、深奧的、課本考試範圍以外的數學，才能夠具有想像力與行動力，才能學思並進、不罔不殆。

在這AI氾濫的21世紀初，我們可能會有疑惑，納悶著既然AI可以幫我們算這麼多，那學數學還要怎麼學、學什麼。「道生一，一生二，二生三，三生萬物。」AI能幫助人類生萬物，但是唯有好的數學品味才能無中生有，求道生一。
本書三十年前在筆者的學習過程中留下了一道痕跡，在此熱情推薦本書作為讀者培養數學品味的良伴。

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